Publisher's Synopsis
Mathematik ist eine unentbehrliche Grundlage fur die meisten der heutigen wissenschaftlichen Disziplinen. Die vorliegende Darstellung einiger mathematischer Gebiete wendet sich zwar in erster Linie an Physik- und Informatikstudenten, kann aber auch fur andere Studienrichtungen nutzlich sein. Aus der Einbettung der mathematischen Strukturen in historische und naturwissenschaftliche Zusammenhange mag auch ein allgemein mathematisch interessierter Leser seinen Gewinn ziehen.Ungewohnlich ausfuhrlich wird die Begrundung der Zahlen behandelt, nachdem kurz die Grundbegriffe der Mengenlehre zusammengestellt wurden. Schon aus der strikt eingehaltenen Systematik geht hervor, dass alle Zahlen - auch die irrationalen, transzendenten und imaginaren - durch die naturlichen Zahlen definiert werden, wodurch sie - wenigstens zum Teil - ihres mysteriosen Charakters beraubt werden. Die Dezimalbruch-Darstellung, sowie allgemeiner die q-adische Darstellung, der reellen Zahlen wird - wegen der aktuellen Bedeutung beim Computer-Rechnen - erklart, wobei einige Aspekte bei den unendlichen Reihen spater noch nachgetragen werden. Die Uberabzahlbarkeit, Vollstandigkeit und Dichtheit dieses Kontinuums der reellen Zahlen wird erlautert und teilweise bewiesen.Die Euklidische Vektorrechnung wird mit der Besprechung der historischen Euklidischen Axiome eingeleitet. Die eigentliche Vektorrechnung arbeitet mit reellen Tripeln, wobei die dreidimensionale Matrizen- und Determinanten-Theorie eigenstandig aufgebaut wird. In einem spateren Abschnitt erst werden die Rechenregeln fur Matrizen und Determinaten im n-dimensinalen Raum bewiesen. Grossen Wert wird auf die klare Definition der physikalischen Vektoren gelegt.Die Infinitesimalrechnung wird ausgehend vom schulischen Niveau umfassend dargestellt und an Hand von vielen Beispielen erlautert, die hauptsachlich aus dem Bereich der Physik und der Informationstheorie stammen. So werden ganz nebenbei Grundbegriffe eines mechanischen oder thermodynamischen Systems oder der Sinn eines Informationsmasses erlautert.Zur Vorbereitung der Extremalkriterien von Funktionen mehrerer Veranderlicher werden die Kurven im n-dimensionalen Raum und die Integrale daruber eingefuhrt. Dies leitet zu allgemeinen Gradientenfeldern und potentialtheoretischen Begriffen uber. Die Verwendung n-dimensionaler Vektoren erlaubt eine kompakte Darstellung der mechanischen Grundgleichungen. Der Hauptsatz uber implizite Funktionen ermoglicht die Behandlung von Extremalproblemen mit Nebenbedingungen. Die Konvexitatskriterien, die mit Extremalkriterien eng verwandt sind, werden u.a. in origineller Weise mit Hilfe von Legendretransformierten formuliert. Dadurch wird die Bildung der zahlreichen gemischten Ableitungen umgangen, die sonst bei kritischen Punkten hoherer Ordnung ins Spiel kommen. Die Fencheltransformation begrundet als Verallgemeinerung der Legendretransformation die Dualitatstheorie beliebiger konvexer und konkaver Funktionen und spannt den Rahmen fur die konvexe Analysis und die thermodynamischen Potentiale auf.Nachdem die mehrdimensionale Integration eingefuhrt wurde, kann die eigentliche dreidimensionale Vektoranalysis mit den fundamentalen Integralsatzen von Gauss und Stokes behandelt werden. Die physikalischen Bedeutungen der Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes werden ausfuhrlich erlautert und veranschaulicht. Die Systematik bei der Herleitung der Differentiationsformeln fur Vektorfelder wird offengelegt und die Anwendung auf die Greensche Potentialtheorie angedeutet.Bei der Besprechung der Fouriertransformation werden neben den grundlegenden Tatsachen einige mathematische Feinheiten ausgefuhrt, die schon zu dem Gebiet der Funktionalanalysis gehoren, die aber fur Anwendungen (z.B. in der Regelungstheorie) durchaus nutzlich sein konnen. Die Distributionstheorie wird sowohl in der Sprache des Physikers als auch in der Ausdrucksweise des Funktionalanalytikers dargestellt. Sie erweitert die Analysis betrachtlich und hat bei den Fouriertransformationen besonders spektakulare Anwendungen wie z. B. bei der Transformation des Dirac-Kamms (Signaltheorie).Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird fur Ereignismengen (Borelmengen) im eindimensionalen reellen Raum entwickelt. Fur die Mittelwertsbildung wird die Lebesgue-Integration eingefuhrt. Die konvexe Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird in Form von Massen, verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitsdichten (Distributionen), Verteilungsfunktionen und erzeugenden Funktionen realisiert. Die eindeutige Zerlegung der Verteilungen in diskrete, absolut stetige und singular stetige Komponenten wird ausgefuhrt. Es wird gezeigt, auf welcher konvexen Teilmenge von Verteilungen die Entropie (Informationsverlust) und Relativentropie definiert sind. Das Momentenproblem und das Approximationsverfahren von Verteilungen durch Entropie-Maximierung werden besprochen.Es wird eine Auswahl von Abschnitten gekennzeichnet, die sich als Grundlage fur einen 14-tagigen mathematischen Vorbereitungskurs zum Studium der Physik und Informatik eignet.
