Publisher's Synopsis
Excerpt from Die Darstellung Ganz Willkurlicher Functionen Durch Sinus-und Cosinusreihen; Note Uber eine Eigenschaft der Reihen, Welche Discontinuirliche Functionen Darstellen
Obgleich die Gleichungen (13) und (14) beide eine ganz beliebige Function f(x) fur das Intervall von 0 bis 77 dar stellen, se sind sie doch wesentlich von einander verschieden. Wahrend die letztere wegen der bekannten Eigenschaft des Cosinus, fur entgegengesetzte Werthe des Bogens gleich zu sein, durch die Verwandlung von x in - x unverandert bleibt, nimmt die erstere in demselben Falle den entgegengesetzten Werth an, wie ebenso leicht aus der Natur des Sinus erhellt. Man sieht hieraus leicht, dass man unter gewissen Umstanden eine Function von x fur das Intervall von - 77 bis 77 durch die Reihe (14) oder (13) darstellen kann. Denkt man sich namlich unter f(x) eine von x 0 bis x 77 ganz beliebig gegebene Function von x, und setzt diese Function oder Curve von x 0 bis x - 77 so fort, dass immer f( - x) f(x), so wird diese Function von x 77 bis x - 77 durch die Reihe (14) ausgedruckt werden konnen, denn diese Reihe gilt immer von 0 bis 77, und da sie bei der Verwandlung von x in - x unverandert bleibt, welches nach der angegebenen Art der Fortsetzung auch bei der Function der Fall ist, so stellt sie diese auch von 0 bis - 77 dar. Ganz auf dieselbe Weise uberzeugt man sich, dass, wenn man eine von 0 bis 77 beliebig gegebene Function so fortsetzt, dass f( - x) fur eine solche Function zwischen x - 77 und x 77 die Reihe (13) gilt. Auf diese einfache Bemerkung kann man eine Reihe grunden, welche die Reihen (13) und (14) als be sondere Falle in sich begreift und eine von x - 77 bis x 77 ganz willkurlich gegebene Function (p(x) darzustellen geeignet ist. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.com This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works.
